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Hamilton力学论文 Hamilton系统的概念与应用

2018-12-20 15:02:49来源:组稿人论文网作者:婷婷

  摘要:本文主要介绍了Hamilton系统的定义以及它们的一些基本知识和有关性质,并给出了一些具体实例,体现了此系统在实际问题中的应用.

  关键词:Hamilton系统,力学,状态

  1 引言

  常微分方程的发现是对自然科学以及通过对物理现象的研究慢慢发展起来的,力学系统一般分类可分为三大类包括Newton力学系统,Lagrange力学系统和Hamilton力学系统.Hamilton系统又称为哈密顿典型系统或着称为正则系统,常将其简记为H.S. 是经典牛顿力学系统的等价系统之一.它的研究历史悠久,源远流长. 它本身是Lagrange力学的进一步发展和拓广,如果我们从数学这一角度来分析它,它同时又是一门内容实质极其高深的相空间几何学,比如我们知道的辛几何和辛拓扑等都源于此系统的研究.随着时代的快速发展以及科技的不断提升,纯理论数学的基础知识的不息研究和计算机技术的广泛使用,哈密顿系统再次成为非线性科学研究中的极具有吸引力和研讨性的一块领域,哈密顿方程的研究极大地促进了非线性系统理论的更进一步发展.另一方面,这种系统存在于数学研究,生物实验和社会科学等的各个方面,尤其是天体物理学和航空航天科学,因此该体系的研究多年来一直不断.本文介绍Hamilton的含义和基本特征,并且我们还推导出了Hamilton正则方程,同时,本文还列举一些常见的例子来描述Hamilton框架的实际物理应用.

  2 基本知识

  2.1状态空间的基本概念

  定义1 每个系统在一个指定时刻都存在一个指定的状态,系统在时刻的状态是时刻的一个给定的信息,它与此后的给定时刻一起唯一地确定该系统在时的这种行为称为这个系统的状态.

  定义2 完全表示系统时间域行为的最小内部变量集称为状态向量.

  定义3 假设系统中存在个状态变量,并且用来表示这些状态变量,而且如果把这些状态变量看做向量的中的各个分量,那么我们将x(t)也称为一个状态向量,记为

  定义4 以这些给定的状态变量为轴组成的维实向量空间我们称其为状态空间.

  定义5 用以表示系统状态变量与输入变量之间存在的某种关系的一阶微分方程组或是一阶差分方程组称为这个系统的一个状态方程,它表示了此后量对其内部状态的一种变换过程,其一般形式为

  其中,是时间变量,是输入变量.

  定义6 状态方程与输出方程的一个组合叫作状态空间表达式,亦称为动态方程,它表示一个完整的系统中间存在的动态过程,其一般形式表示为

  通常,对于线性定常系统,状态方程为

  这样,表示一个维状态向量,其中对于矩阵表示这个系统内部某种状态的一个状态系数矩阵,我们称之为系统的系数矩阵 ,同样的对于 表示对系统中间的某种状态作用的矩阵,我们称之为系统的输入矩阵 ,再者对于 表示输出对系统中的状态关系的矩阵,我们称之为系统的输出矩阵 ,最后矩阵表示系统输入直接对系统输出作用的矩阵,我们称之为直接转移矩阵.

  由系统结构及其参数决定,体现了系统内部的特性,而则主要体现了系统输入的施加情况,通常情况下.

  2.2分析力学中的相关知识

  2.2.1广义坐标与广义动量

  不仅力学问题的顺利解决往往借助于坐标的适当选择,而且力学的不断发展是和坐标概念的拓展也是紧密相联系的.拉格朗日力学的建立就是和一般的广义坐标概念的引入相联系的.我们还将看到,分析力学的进一步发展也是按照如此:广义共轭动量的引入导致坐标概念的进一步拓展为正则共轭坐标,同时也伴随着动力学方程的进一步发展和哈密顿正则方程和哈密顿力学的成立.

  Hamilton力学系统可用哈密顿(正则)方程表示为

  ,

  其中为系统的对共轭变量,称为正则变量.称为系统的广义坐标,称为广义动量,广义动量不是原意义下的“坐标”,也可以不同于我们原来学过的动量,例如它可以是角动量等等.

  称为哈密顿函数.因此由可唯一确定系统的哈密顿方程,有时我们也称为哈密顿方程H,也就是意义上由确定的哈密顿方程.

  2.2.2 自由度与约束

  定义7 完全描述力学系统的运动中所必须的独立坐标的数,称为这个系统的自由度.

  例如 1个自由质点——3个自由度

  个自由质点——3个自由度

  1个平面运动质点——2个自由度

  1个曲线运动质点——1个自由度

  若运动被局限或被管制,其自由度将削减,如果增加一个约束条件,那么则减少一个自由度.

  定义8 当质点或质点系中的某些质点运动时,如果受到某些提前给定的几何中或运动物理学上的一些限制条件,那么我们称这些限制条件为质点或质点系的一个约束或者是约束条件.

  2.2.3 完整稳定约束

  定义9 假如约束方程仅含有坐标或是含有坐标与时间的这类方程,再或者是含有坐标对时间的导数的这类方程,并且是可以积分成有限形式的类型,那么我们称这类约束为方程的完整约束.

  完整约束方程的一般方程为

  如果约束方程中不仅含有坐标,还含有坐标对时间的导数,且这种含有坐标导数的方程不能积分成有限形式,则这种约束称为非完整约束,其一般形式为

  假设在约束方程中不包含时间,也就是说,约束不随时间的改变而改变,那么我们称这种约束为定常约束.如果在约束方程中包含时间,即约束随时间的改变而改变,那么,这种约束我们一般称为定常约束.

  2.2.4 性质

  性质1 哈密顿方程是哈密顿方程的首次积分.

  现考虑容积,由容积变化率公式,沿哈密顿方程有

  即

  性质2(刘维尔保积定理)哈密顿方程是一个保守系统.如果在相空间中任何区域沿着哈密顿方程轨迹变化但是其体积保持不变,二维平面上哈密顿方程轨线为一族闭曲线族.由此性质知哈密顿系统内不可能存在渐近稳定平衡点和渐近稳定极限环.且由此推出

  性质3(庞加来回归定理)假设空间中任一点的任意一个领域,那么必存在,使得由出发的哈密顿方程的解必回到,即存在,使得.

  性质4 (极值稳定定理)如为的局部极小或极大值,则是李雅普诺夫稳定的.

  性质5 不显含时有

  1.当且仅当时,是哈密顿方程的首次积分;

  2.如是哈密顿方程的首次积分,则也是哈密顿方程的首次积分;

  3.是沿哈密顿方程的解的关于的变化率.

  对两个哈密顿方程的首次积分,当恒有时,称是对合的.

  称哈密顿方程是完全可积的,如果存在可逆(正则)变换

  将哈密顿方程变为

  即将哈密顿方程变为,称为作用变量, 为角变量,为频率.

  2.3哈密顿原理

  从动力学普遍方程出发可到处于哈密顿方程的一般形式,即

  其中是系动能的变分,是作用于系统的所有主动力的虚功.

  当作用在系统上主动力为有势时,.引入哈密顿作用量

  其中为拉格朗日函数,它是系统动能和势能的差值,即

  .

  因此,完整系统哈密顿原理可以写成一个公共的的变分形式

  由哈密顿原理的具体内容知

  1.该原理从整体范围上描述了力学系的运动,它所揭示的也是一种力学系能量(动能,势能和功等)形式转换应该遵循的基本规律;

  2.哈密顿原理具有统一的和完美简洁的形式,即具有坐标变换的形式不变性,从而使哈密顿原理具有很大的普遍适用性.

  3.哈密顿原理的实质是轨道稳定性原理,粒子从一种状态运动到另一种状态总是选择一条最稳定的方式轨道.在有干扰状态下是不变量,所以哈密顿原理也是一个对称性原理.

  2.4 Legendre变换与正则变换

  2.4.1 Legendre变换

  为了简单起见,我们仅以二元函数为例给出勒让德变换的推导过程,对于多元函数而言,相应的变换过程可类似得到.

  给定函数为

  对上式进行微分有

  由此可按以下方法来引入两个新的独立变量.如都可以作为描述某一系统运动的变量,那么,可以根据问题的需要,适当选取其中任意两个作为独立变量.下面我们将以其中一种选择方式为例来进行变换.

  选择一个新变量,参与变换(称为主变量),保留一个老变量,不参与变换(称为辅变换),将作为一组独立变量,则可以得到下面一组

  函数亦应用表示,记为,即

  从而有

  将上式进行移项整理后可得

  式中

  由此可知,当独立变量由变为时,如果仍保持使用函数,则不能直接用对以及对的偏导数来进行表示.而只有将它改变成某一新函数后,才可以直接用分别对取偏微分来进行表示.这类把旧变量以及函数转化为新变量以及函数的变换称为勒让德变换.

  由上面的分析我们可以看到勒让德变换在形式上具有如下对称性质

  主变量: 辅变量:

  2.4.2 正则变换

  如果与循环坐标对应的广义动量守恒.那么的得到的相应的循环坐标的数目越多,同时对于求解哈密顿正则方程的问题也就相对而言越便利,但对于相同的问题,如果我们选择的广义坐标有所不同,相应的我们得到的循环坐标的数目也会有所不同的.同样的道理,我们称广义坐标之间的变换叫作点变换.

  现讨论在哈密顿力学中,广义坐标与广义动量处于平等的地位,无须拘泥于点变换,现在可以考虑更加广义的变换.

  但是,这也要求变换之后的动力学方程仍保持是哈密顿正则方程,满足这样的条件的变换称之为正则变换.

  注意 变换以后的两组数与如果能够保持完全对等,这样我们不再把他们区分为“坐标”和“动量”这两个概念.这样,就可以在哈密顿动力学中来进行讨论,对于满足哈密顿正则方程条件的这一组变数与就叫作一组正则变数或称为一组共轭变数,具体而言,不用再去区分坐标和动量.

  如果对于变换前的和需要满足哈密顿正则方程这一条件,那么得到的变换后的与同样也需要满足哈密顿正则方程得条件.由此可见,作为同一个力学问题,这两个正则方程是彼此等价的.也就是说,哈密顿原理

  两者是等价的(这里代表变换之后得到的的哈密顿函数).借助于变换关系,可将上面两式视为含有相同的变数.因此,二者被积函数之差应视为任意函数对时间的全导数

  即正则方程满足

  相应地,变换后的正则方程为

  反之,如果变换满足如下条件

  为我们证明来的新变量的哈密顿函数,则对于它相应的变换就是得证的正则变换.

  证明:由上式得

  等时变分时与先后次序可换,对上述两式分别对时间求导数及变分后可得

  等式的右边为

  因此

  得到

  3 具体实例

  3.1 数学摆问题

  数学摆问题就是一根长度为的线上挂着一质量为的质点,在地球的重力作用下,质点在垂直于地面的某一个平面上作圆周运动,下面我们来分析确定摆的运动方程.

  数学摆问题分析:现取逆时针方向为计算摆与铅垂线所成角的正方向.质点沿圆周的切向速度可以表示成.作用于质点的重力将摆拉回平衡位置.把重力分解为两个分量MQ和MP,第一个分量MQ沿半径方向,与线的拉力相抵消,它不会引起质点的速度的数值的改变.第二个分量MP沿着圆周的切线方向,它引起质点的速度的数值的改变.因为MP总是使得质点向着平衡位置的方向移动,即当角为正时,向减小的方向运动;当角为负时,向增大的方向运动,所以MP的数值为.因此,摆的运动方程是

  即

  如果只研究摆的微小振动,即当比较小时的情况,我们可以取的近似值带入上述方程.这样就得到极其微小振动时摆的运动方程

  假设摆是在一个有阻力的介质中运动,则存在一个速度并且与摆的运动方向成正比的阻力.假设阻力系数是,则摆的运动方程可以写成

  这里长度,质量和重力加速度均大于0,并设阻力系数大于0,令,,则方程可化为一阶微分方程组

  现讨论,如取

  则方程又化为自由度的二维哈密顿方程

  是其首次积分,因,数学摆方程完全可积,其可积函数为

  3.2 水平弹簧质量振动问题

  水平弹簧质量系统的问题描述:假设系统满足运动无阻力;系统只能在水平系统运动;外力,以的同方向为正.

  水平弹簧质量问题分析:取弹簧原长,质量位置为坐标轴的原点,取为广义坐标,如弹簧原点位置为势能零点,则系统的势能为,因此系统的拉格朗日函数

  求得广义动量

  因此

  计算哈密顿函数,写成广义动量和广义坐标的函数

  求得H后,写出系统的正则方程

  由上三式,的系统运动微分方程

  3.3 求出在中心力场中的运动的质点的哈密顿函数以及正则方程和运动积分.

  分析:这是两个自由度的力学体系.拉格朗日函数

  正则共轭动量

  可以得到

  哈密顿函数

  求得正则方程

  消去共轭向量,得

  这与我们已知的利用平面极坐标系得到的各种动力学方程本质相同.由于哈密顿不显含,即得循环积分

  结束语

  自然界本来就是和谐统一的,物质之间全都有相互作用,从而导致物质运动状态的变化,能量是所有物质运动状态的共性,那么标志这共性的哈密顿函数或拉格朗日函数所满足的哈密顿正则方程或拉格朗日方程,便是此和谐统一的象征.该方程能统一描述种种物质系统的运动规律.物理学中最基本的原理是哈密顿原理,许多物理学家都研究过此原理,因为它具有很好的普遍性,换句话说,它反映了各种物理理论的同一性.不论是Newton力学,Maxwell电动力学,Boltzman统计力学,还是Einstein的狭义相对论和广义相对论,还是量子力学以及一些量子场论,它们的核心方程都可以从哈密顿原理推导得出,利用拉格朗日分析力学的方法推导出:大部分的的物理学理论都能总结为最小作用量原理,并使用变分法这一有效的数学工具将他们之间联系起来.哈密顿的研究涉及很多领域,在力学方面,主要成就就是实现了继拉格朗日之后的又一次质的飞跃,并不断发展着.

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