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函数应用论文 函数极值与最值的研究与应用

2018-12-17 17:08:34来源:组稿人论文网作者:婷婷

  摘要

  本文通过函数极值和最值的相关理论,介绍函数极值判别的三类充分条件,并总结得出极值求解的四类方法,包括降元法、转化法、换元法和判别式法,并对最值求法进行多样性概述,以讨论极值和最值与实际问题之间的关系。总结函数的极值和最值的相关理论知识,研究了函数的极值和最值的相关理论知识在实际生活中的应用。

  关键词:函数;极值;最值;应用

  第1章绪论

  函数极值与最值作为函数众多性质中重要的研究方向以及基本工具,对包括数学在内的众多学科领域,比如数学建模、最优值问题、运筹学等学科都有着深远的影响,而且经典函数理论中的极值思想也极大的拓展了该学科在航空航天、保险理赔、价格预测等众多行业中的应用范围与深度,并且随着科学技术的进步函数极值与最值理论作为一种重要的数学分析工具,将会越来越多的与人们的生活、工作交织在一起。而且研究函数极值与最值问题可以为很多实际生产问题在理论上提供指导,也是深入研究数学及其相关理论的基础。所以,讨论并研究函数极值与最值问题具有重要的应用价值。

  函数的极值和最值作为经典函数理论中的基本性质,在现实生活中也具有非常重要的应用价值。在实际中遇到的方方面面的问题,都应该有着对应不同问题的解决办法,而对于简单而实用的方法应该通过大量的实践来熟练的掌握。以下就是我们对这些方法归纳与整理,并且讨论了函数极值和最值的相关问题及其在实际生活中的应用。

  第2章函数极值的相关理论

  2.1极值概述

  2.1.1函数极值的引入

  定理1费马定理[1]设函数若函数在点的某领域上有定义,且在点可导.若点为的极值点,则必有

  .

  费马定理的几何意义非常明确:若函数在极值点可导,那么在该点的切线平行于轴.如图1.

  2.1.2一元函数的极值

  定义1[1] 若函数在点可导,则有费马定理,点为极值点,而此时就是所谓的极值。而是极大值还是极小值呢?现在从图2可以得到如下结论.

  (1)在内,;在内时,此时为极小值.

  (2)在内,;在内时,此时为极大值.

  2.1.3二元函数的极值

  定义21 设函数在点的某领域内有定义,对于该领域内异于的点,若满足不等式,则称函数在有极大值;若满足不等式,则称函数在有极小值,极大值和极小值统称极值,使函数取得极值的点称为极值点.

  2.2.函数极值的判别条件

  2.2.1极值的第一充分条件

  定理 21 设在点连续,在某领域上可导.

  ( = 1 \* roman i)若当时,当时,则在点取得极小值.

  ( = 2 \* roman ii)若当时,当时,则在取得极大值.

  证 下面只证( = 2 \* roman ii),( = 1 \* roman i)的证明可类似的进行.

  定理31 设在区间I上可导,则在I上递增(减)的充要条件是

  .

  由定理2的条件及定理3,在内递增,在内递减,又由在处连续,故对任意,恒有

  .

  即在取得极大值.

  2.2.2极值的第二充分条件

  定理41 设在点的某领域上一阶可导,在处二阶可导,且,.

  ( = 1 \* roman i)若 ,则在点取得极大值.

  ( = 2 \* roman ii)若,则在取得极小值.

  证 由条件,可得在处的二阶泰勒公式

  .

  由于,因此

  . (1)

  又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时,(1)式取负值,从而对任意有

  即在取极大值.同样对,可得在点取极小值.

  2.2.3极值的第三充分条件

  定理51 设在点的某领域内存在直到阶导函数,在处阶可导,且,,则

  ( = 1 \* roman i)当 为偶数时, 在取得极值,且当时取极大值, 时取极小值.

  ( = 2 \* roman ii)当为奇数时,在处不取极值.

  2.3函数极值的实例

  我们前面研究了函数极值的定义以及判别条件,那么下面我们来看看在实际例子中如何应用,如何解决问题.

  例1求函数的极值点与极值.

  解: 在上连续,且当时,有

  易见,为的稳定点, 为的不可导点.这两点是否是极值点,需作进一步讨论.现列表如下(表中表示递增, 表示递减):

  由上表可见:点为极大值点,极大值为,x=1为极小值点,极小值为 (如图3)

  例2 求的极值点与极值.

  解:当时,

  .

  令,求得稳定点.又因

  ,

  依定理4, 为的极小值点,极小值.

  例3 试求函数的极值.

  解:由于,因此函数的三个稳定点. 的二阶导数为

  由此得及.所以在时取得极小值.求三阶导数

  ,

  有.由于为奇数,由定理5知在不取极值.再求的四阶导数

  有.因为为偶数,故在取得极大值.

  综上所述, 为极大值,

  为极小值.

  2.4函数极值的求解方法总结

  2.4.1降元法

  对于多元函数求极值的问题,其中一个应用非常广泛的方法就是消元法,该方法首先选择两个变量作为主元,并且通过变换将其他变量消去,从而将多元函数化为二元函数进行求解,降低了求解难度。

  例1:已知,求函数的极值.

  解:由题设得,代人得

  即函数的定义域为:

  当时,

  当时,

  2.4.2转化法

  当遇到函数的极值不能或者不易求解时,可以通过对函数表达式进行分析,并根据相关已知条件,将复杂的问题转化为简单、易解的问题,并通过其他途径进行求解。

  例2:求函数的极小值.

  解:设

  令

  则:

  2.4.3换元法

  求解一些复杂的函数时,可以通过将函数中的一部分作为一个整体或者一个新元以达到降低求解难度的效果。

  例3:已知,求的极值.

  解:

  令

  则(其中)

  .

  2.4.4判别式法

  将所给的函数表达式转化为以某个变量为主元的二次函数方程,在满足约束条件的情况下,可以是判别式法对函数的极值进行求解。

  例4:已知满足,求的最小值.

  解:由得代人约束条件并以为主元整理得:

  解得: (1)

  当且仅当时(1)式取等号.

  由的对称性知当时,

  .

  以上只是研究了几种比较基本的函数极值求解方法,而对于函数极值的求解还有很多巧妙的求解方法,比如三角法、极坐标法、区间法等。所以在对函数进行求解时需要观察该函数的结构特征,并灵活应用相关的解决方法,逐步提高解决问题的能力。

  第3章函数最值的相关理论

  3.1最值概述

  3.1.1初等函数的基本性质

  我们要研究函数的最值,首先应该知道函数有哪些性质,下面我们先来介绍初等函数的基本性质.

  (1) 有界性

  函数的值域有上界称为函数的上界,有下界称为函数下界,函数值域有界称为函数有界.

  定义:设是定义在上的函数,是的子集,如果存在数,使得对于中的任意,则称在上有界.

  (2) 单调性

  如图4,当由小到大的变化时,函数值增加,而由大到小时,函数减小.

  O

  y

  图4

  定义:设是定义在上的函数,是的子集,如果对于中任意两点,当时,,则称在上单调增,相反,单调减.

  (3) 奇偶性

  为奇函数,其图像关于原点对称.

  为偶函数,其图像关于轴对称.

  (4) 周期性

  在上,为周期函数,则k为的一个周期,显然周期并不唯一.

  (5) 可导与连续

  若函数在点可导,则在点连续.

  由此,可据函数的可导求极值点,进而讨论函数最值.

  3.1.2 6种基本初等函数

  1.常数函数.定义域为,图像平行于轴.

  2. 幂函数.

  3.指数函数,().奇图像如图5

  1

  图6

  图5

  4. 对数函数,().图像如图6

  5. 三角函数,如图7.

  余弦函数y=cosx

  正弦函数y=sinx

  y

  余切函数y=cotx

  正切函数y=tanx

  图7

  7

  6. 反三角函数.如图8.

  反余弦函数y=arccosx

  反正弦函数y=arcsinx

  1

  反余切函数y=arccotx

  反正切函数y=arctanx

  图8

  3.1.3函数最值的定义

  设函数在区间上有定义,如果存在一点,使得不小于其他所有的,亦即

  ,

  则称是在上的最大值,又可记为

  ;

  同样使得不大于其他所有的,亦即

  ,

  则称是在上的最小值,又可记为

  .

  3.2最值求法

  函数最值求法,其方法多种多样,下面我们列举出如下8中并结合例题来说明其数学思想.

  3.2.1 复数法

  用复数方法求解函数的最值问题,就是运用复数的模以及绝对值的性质来求解,关键是构造复数.

  例3.2.1 .

  解:

  ,等号当且仅当

  3.2.2配方法

  用配方法求解最值问题,可以将整个函数的最值问题转化为局部函数的最值问题来求解,使问题更加简单化.

  例3.2.2

  解:

  即为所求.

  3.2.3 判别式法

  用判别式法,可以将函数的最值问题化为一元二次函数的问题,进而化为判断一元二次函数判别式的问题,关键是二次项系数不为零.

  例3.2.3 求函数的最值.

  解:由原函数可得关于x的一个二次方程

  .

  3.2.4导数法

  用导数法是在,极值点,不可导点,端点中,通过对函数值的比较而得最值点,若函数在某区间只有极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.若函数在整个区间都不连续的,就把它分为多连续的个区间,分别求出每个区间的极值,最后在求出最值.

  例3.2.4 求函数

  解:

  值是-8.

  3.2.5 函数的单调性法

  当自变量的取值范围为一区间时,常用单调性法来求函数的最值,若函数在该区间上是单调性的,那么函数在区间端点取得最值,若函数在该区间不是单调的,把该区间分成各个小区间,使得函数函数在每个区间上是单调的,在求出各个区间上的最值,在比较,最后求得整个区间上的最值.

  例3.2.5 求函数.

  解:由题意得定义域 又

  .

  3.2.6换元法

  用换元法求函数的最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用新元来代替,达到问题化难为易,化陌生为熟悉,从而使原问题得到解答.换元法通有三角代换和代数代换两种.

  例3.2.6:正数,满足,其中为不相等的正常数,求的最小值.

  解:

  时上式取等号,故.

  3.2.7 消元法

  消元法是指通过消去变量(未知数)从而达到解题的目的.该方法是求多元函数最值最基本的方法.

  例3.2.7.已知

  解:条件

  又

  而.

  3.2.8 柯西不等式法

  柯西不等式:设

  时取得.

  例3.2.8

  解:由柯西不等式可得,

  由.

  第4章极值与最值在实际生活中的应用

  4.1极值的应用

  4.1.1极值理论拯救生命

  在上个世纪五十年代,由于特大风暴与潮汐的原因荷兰西南部发生了一场特大水灾,受影响民众达60多万,死亡1836人,10万人无家可归,4.7万间居民住宅被毁。在灾后重建的过程中荷兰政府总结了这次惨痛的教训,并重新修筑了海防大堤。由于荷兰国土面积有一半以上位于海平面以下,如果建造的海防大堤太低,将不足以抵御海浪的侵袭,太高了又会浪费人力物力。对于海防大堤的修筑高度,科学家们在总结了荷兰出现此类灾害的历史数据并结合极值理论,计算出新海防大堤5米的建筑标准。所以对极值理论在实际生活中具有重要的应用价值。

  4.1.2极值理论在其他行业中的应用

  将极值理论应用于保险业,可以对对洪水、风暴和飓风等极端事件的发生概率进行评估,可以有效的对风险进行管理。因而保险业成为极值理论最早的受益者之一,如果在收取保险费之前不对风险进行评估,可能会因为高估风险,造成保险费过高,顾客难以接受;也可能低估了风险,造成保险公司的亏损。所以,运用极值理论保险公司可以规划合理的保险费收取水平,降低运营成本。

  4.2 最值的应用

  对于许多实际问题可以根据函数的最值理论进行解决。而解决问题的关键在于如何从实际问题中建立数学模型与目标函数,以找出问题的本质特征,然后根据已知条件对问题进行求解。通过最值理论可以将实际问题抽象出数学模型,然后通过数学方法对实际问题进行求解。

  4.2.1最大利润与最小成本问题

  利润与成本是制约企业发展的关键问题,而利润最大化与成本最小化是一个企业运营过程中最理想的状态。怎样做才能实现利润最大化与成本最小化?首先需要根据市场的需求对产品的产量、价格进行合理规划,而这其中还涉及到成本、利润、产量等相关因素的制约。所以,需要根据最值理论研究各因素之间的制约关系,并最终实现利润的最大化。

  4.2.2税收额最大问题

  对于求解税收额最大问题可以转化为求解使税收收益达到最大的税率问题(税率收益=税率×实际的市场销售量)。通过某地区长时间征税数据收集分析可以确定产品在市场上的销售量与其对应税率之间的计算关系:

  (1)

  式中为某产品的税率,表示销售量。通过(1)式可以得出收益R的计算公式:

  (2)

  式中和都为非负值,而且的定义域为,但是当和时,的值都等于零,所以值在0与3之间达到极大值。对(2)式进行求导运算:

  对上式进行求解运算得到驻点,

  并将其代人(2)式,可得收益的极大值,

  再将驻点代人(1)式,求得税率.

  因此当税率为时,可得最大收益值7.79

  4.2.3最大期望问题

  在对策论中最为重要也是最基本的一个概念就是期望值,本文通过下面的例子对最大期望值的问题进行研究。

  例如:将一批产品分为6分类,其中每一类的数量占产品总量的1/6。各类产品每件的利润如表1所示,试问该批产品每件平均销售盈利是多少?因为各类产品被销售可能性等同,所以各类产品出现的概率均为1/6,如表1所示。

  结果123456概率收益123456所以各类产品销售的期望值

  (元)

  也就是说,该批被分为6类的产品每件平均销售盈利是3.5元。

  4.2.4最优计划安排,最佳混合生产问题

  在实际生产中,如果要实现收益最大化需要从以下两个方面进行考虑。一要尽可能减少人力、物力等生产成本;二要物尽所用,即通过合理的分配使各项生产成本能被最大限度的利用,达到最高的生产效率。

  基于以上论述,可以发现通过最值理论可以使企业在提高生产效率的同时降低生产成本,提高收益,并最终实现利益最大化。因此,对于最值理论在生产生活中的实际应用进行分析具有非常重要的意义。

  第5章 绪论

  通过对函数极值、最值求解方法及实际应用的学习,可以发现极值与最值对与函数值的计算具有重要的意义而且对其他相关学科的深入研究也具有一定的指导意义。通过对比两者在实际应用中的差异,也可以使运用极值与最值理论对实际问题进行分析的方法应用更加广泛、成熟。通过本文的研究与讨论也可以发现,数学是人类解决生产及生活中所面临问题不可或缺的工具,同时也是科学技术向信息化、智能化方面发展的得力助手。

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