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数学类论文 一阶常微分方程积分因子的求法

2018-11-26 10:55:09来源:组稿人论文网作者:婷婷

  摘 要:常微分方程是一种用于表达自然规律的数学语言。就我们所知道的,书本中对于一阶常微分方程积分因子的求法介绍较为零碎,而且对积分因子的求法并没有一个全面系统的总结,故对于积分因子的求法还可以进一步研究。一阶常微分方程灵活多变,有多种不同的方程类型,因而对于不同类型的方程,可探讨出与其适应的求解方法。本课题主要是围绕着积分因子的求法而展开的。并且针对于不同类型的积分因子,我们给出了不同的求解方法。并结合具体问题进行分析讨论,通过对其解法的深究,帮助我们解决了部分一阶常微分方程的求解问题。

  关键词: 一阶微分;积分因子;微分方程;通解

  1 引 言

  1.1研究背景

  常微分方程是现代数学的一个重要分支,在物理学,微分几何,计算数学,计算机图形学,图像处理,以及大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力等学科中都有许多重要的应用。科学技术发展过程中提出大量的线性与非线性偏微分方程。有意义而且影响深远的微分方程来源,主要是物理与几何.

  塞蒙斯曾如此评价微分方程在数学中的地位:“300年来分析是数学里首要后继课,又是为了解物理科学的一门最重要的数学,而且在它所产生的较深的问题中,它又是高等分析里大部分思想和理论的根源”。

  常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。其主要研究对常微分的求解。在常微分理论中,一阶常微分方程是微分方程的基础,在常微分中必不可少,一阶常微分方程的初等解法主要有两种:一是利用变量代换法,将方程化成变量分离型方程求解;另一种则是找出方程的积分因子,将方程化为全微分方程进行求解。这种利用积分因子将方程化为全微分方程进行求解的方法即灵活又难掌握,所以全面系统的研究积分因子的求法很有必要且意义重大。通过相关资料的查阅及分析,现有的教材对一阶微分方程积分因子的求法都有介绍,大都局限在一些简单的情况,例如公式法一般只给出含有或者的一元函数积分因子的情形,很少涉及二元的,对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结,故积分因子的求法有广阔的研究空间。

  本课题将根据积分因子的定义及性质,通过不同的分类方法,在原有求积分因子方法的基础上,对多种求法进行加深和扩充,系统地讨论一阶微分方程积分因子的求解方法,给出一些方法的使用条件,并给出相应的例题进一步理解。结合具体问题进行具体分析讨论,为解决一些非全微分方程的求解问题提供了更加行而有效的方法。

  1.2研究意义

  常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题。应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善。

  随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,常微分方程的应用范围更广泛。对数学建模问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此,常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

  常微分方程是现代数学的一个重要分支,在物理学,微分几何,计算数学,计算机图形学, 图象处理以及大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等学科中都有许多重要的应用。科学技术发展过程中提出大量的线性与非线性偏微分方程。有意义而且影响深远的微分方程来源,主要是物理与几何。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,常微分方程的应用范围更广泛。对数学建模问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此,常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

  可以这样说,我们所研究的东西全都来源于生产生活实际,然后通过深入透彻的研究,形成完整的理论体系,然后反过来应用于实际生产生活。微分方程自然也有其深刻的实际背景。

  在人们探求物质世界运动规律的过程中,一般很难全靠实验观测认识清楚运动规律,因为人们不太可能观察到运动的全过程。然而,运动物体与它的瞬时变化率之间,通常按照某种已知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出来,其结果往往形成一个微分方程。一旦求出这个方程的解,其运动规律就一目了然。

  如果其中的未知函数只与一个自变量有关,称为常微分方程。

  也就说,常微分方程研究的是物质的运动规律,是表达自然规律的数学语言,已经成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。

  1.3研究现状

  20世纪30年代直至现在,是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。

  1927-1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高,大大地激发了对无线电技术的研究,特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。

  40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否;而对于一般系统这个问题尚未解决。在动力系统理论方面, 我国著名数学家廖山涛教授, 用从典范方程组到阻碍集一整套理论和方法, 解决了一系列主要问题, 特别是C’封闭引理的证明, 对结构稳定性的充要条件等方面都作出了主要贡献。 在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。对这些系统的稳定性研究, 引起了越来越多学者的兴趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的。 目前常微分方程的研究领城比以往任何时候都广泛,大致有九个分支学科:一般理论;边值问题;定性理论;稳定性理论;泛函微分方程和差分方程;微分方程的渐近理论;巴拿赫空间及其他抽象空间的微分方程;控制理论问题以及随机微分方程和方程组。这些领域都有不少数学家在从事工作,每年发表的文献总数在1000篇以上.例如,一般理论仍然是常微分方程最活跃的领城之一。近二十年来,由于研究继电控制系统等实际问题提出了一类右端不连续常微分方程系统和广义常微分方程。由此就要求对解重新定义, 即广义解的定义问题。与此同时又提出这类解的存在性、唯一性问题。再如,在自动控制、生物学、医学、经济学等领城中提出了一类数学模型, 类似一般的常微分方程, 但其解的未来状态, 不仅依赖于初始状态, 而且与过去的状态有关。这些数学模型被概括为所谓泛函微分方程(Funstion Diff,Eqs,简写为FDE),成为常微分方程的重要分支学科。这类方程早在1750年欧拉就已经提出,但20世纪前只有个别工作,1900年—1948年间从各个方面提出的FDE逐渐增多,但仍未成为一个独立分支。1949年后贝尔曼(R.Bellman,1920,8,20,美国数学家)等建立了普遍存在唯一性、稳定性定理后,才成为一个独立的数学分支。目前这类方程的稳定性同样是头等重要的问题。

  2 恰当微分方程

  2.1恰当微分方程的定义

  考虑一阶微分方程

  (1.1)

  假设在矩形区域内是的连续函数,且具有连续的一阶偏导数。如果方程(1.1)的左端恰好是某个二元函数的全微分,即

  (1.2)

  则称(1.1)为恰当微分方程。

  易得(1.1)的通解就是

  (1.3)

  这里是任意的常数。

  2.2 恰当微分方程的解法

  方法1 凑微分法:利用熟知的二元函数微分公式,重新分组组合,分块凑成全微分式。

  方法2 不定积分法,利用关系式:

  由此,函数应适合方程组

  对关于积分得:

  两端关于求导数,并利用恰当微分方程的充要条件,得:

  通过对方程

  关于积分,解出,从而可得 的表达式,令

  即得方程的通解.

  如果对关于积分,同理可得方程的通解为

  其中可类似于求解的方法得到.

  方法3 公式法:方程的通解为

  或

  其中是任意常数.

  例1 求的通解。

  解 因为,此时

  因此方程是恰当微分方程。

  现在求,使它满足如下两个方程:

  (1)

  (2)

  由(1)式对积分,得到:

  为了确定,将上式对求导数,并使它满足,即得:

  于是

  积分后可得:

  将代入,得到:

  因此,方程的通解为:

  这里是任意常数。

  例2 求的通解。

  解 因为,故方程式是恰当微分方程,把方程重新“分项组合”,得到:

  即:

  或者写成:

  故方程的通解为:

  这里是任意常数。

  例3 求的通解。

  解 因为,在平面上有连续偏导数,此时

  因此方程为恰当微分方程。

  方法1(不定积分法) 现在求,使它同时满足如下两个方程:

  (1)

  (2)

  由(1)对积分,得到:

  (3)

  将(3)对求导数,并使它满足(2),即得:

  于是

  积分后可得:

  将代入(3),得到:

  所以,方程的通解为

  这里是任意常数。

  方法2 (公式法) 取

  因此

  所以,方程的通解为

  这里是任意常数。

  方法3(凑微分法) 把方程重新“分项组合”,得到:

  即

  所以,方程的通解为

  这里是任意常数。

  需熟记一些简单二元函数的全微分:

  2.3 用积分因子法求解微分方程

  恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并不是所有的微分方程都是恰当微分方程。若能将一个非恰当微分方程转化为恰当微分方程,则求它的通解就会变得很简单。本文将通过寻求微分方程各类积分因子,化微分方程为恰当微分方程求解,进而加快我们的解题速度。

  2.3.1积分因子的基本概念

  如果存在连续可微的函数,使得

  (1)

  为一恰当微分方程,即存在函数,使

  则称为方程的积分因子。且是方程的通解。

  所以在求解非恰当微分方程时,最重要的是寻找合适的积分因子,从而将非恰当微分方程问题转化为恰当微分方程问题来求解。

  性质1只要方程(1.1)有解,则必有积分因子,而且不是唯一的,对于不同的积分因子,通解可能具有不同的形式。

  性质2方程(1.1)的任意两个积分因子和之间必有函数关系。

  性质3若方程(1.1)有两个积分因子和,且常数,则该方程的通积分为。

  注意:如果方程两端同时乘以积分因子可能出现使此因子为零的多余特解,记得检查。

  2.4积分因子的存在性

  2.4.1 各种形式积分因子存在的充要条件

  引理 函数为方程的积分因子的充要条件是。

  由于积分因子的形式多种多样,所以积分因子存在的充要条件也多种多样,下面是不同形式的积分因子存在的充要条件。

  2.4.2 有关积分因子的相关结论

  结论1 方程有只与有关的积分因子的充要条件是,且积分因子为。

  例4 求的积分因子及通解。

  解 因为,在平面上有连续偏导数,且

  此非恰当微分方程。

  又因为,

  所以 ,仅与有关

  此积分因子为,方程两边同乘积分因子有

  即

  由此可得,方程的通解为:

  这里为任意常数。

  结论 2 方程有只与有关的积分因子的充要条件是,且积分因子为。

  例5 求解方程。

  解 因为,方程不是恰当的。

  因为只与有关,故方程有只与有关的积分因子

  以乘方程两边,得到:

  或者写成

  因而,通解为:

  结论3 方程有形如的积分因子的充要条件是,且积分因子为。

  结论4 方程有形如的积分因子的充要条件是,且积分因子为。

  例6 求方程的积分因子及通解。

  解 因为在平面上有连续偏导数,且

  故其不是恰当微分方程。

  因

  故,与有关。

  则其积分因子为,方程两边同时乘以积分因子,则有:

  此为恰当微分方程。

  所以

  又因为 .

  那么

  则有 :

  故

  故此,方程的通解为:

  此处为任意常数.

  结论5 有形如的积分因子的充要条件是,且积分因子为:

  结论6 有形如的积分因子的充要条件是,且积分因子为:

  例7 求方程的积分因子及通解.

  解 因为,在 平面上有连续偏导数,、均为、的多项式,由于

  则其不是恰当微分方程。

  因为

  所以

  与有关,

  则其积分因子为,方程两边同时乘以积分因子,有

  此为恰当微分方程,进行凑微分,得:

  所以,方程的通解为:

  此处为任意常数。

  结论 7 方程有形如的积分因子的充要条件是,且积分因子为.

  结论 8 方程有形如(、为待定系数)的积分因子的充要条件是,且积分因子为(、为待定系数)。

  注:这个结论用于、都为、的多项式。

  例8 求方程的积分因子及通解。

  解 因为,在、平面上有连续偏导数,且、都是、的多项式,又有:

  此非恰当微分方程。

  又因为

  所以

  由此可解得:

  此处积分因子,方程两边同时乘积分因子,有:

  此为恰当微分方程,进行凑微分,有:

  所以方程的通解为:

  此处为任意常数。

  结论9 分组组合法,利用分组组合的原理,若方程可进行下列分组组合

  且有:

  此时应寻找适当的可微函数和使得,

  则原方程的积分因子是.

  例9 求方程的积分因子及通解。

  解 把方程重新组合可得到:

  括号里的积分因子为且通积分为,括号外的通积分为且通积分为 .设函数与,则有:

  取

  所以解出方程的积分因子为:

  将重新组合后的方程同乘积分因子,可有:

  则

  故方程的通解为

  此处为任意常数。

  3积分因子求法的推广

  常微分方程积分因子求法的推广主要写了几类特定微分方程的积分因子的求法,极大的提高了我们计算积分因子的速度,对我们的学习有很大的帮助。

  由微分方程,是微分方程积分因子的充要条件是。积分因子存在的形式多种多样,故形式简单且容易理解的解题方法相对而言更为快速方便。以下为几种常见的一阶微分方程积分因子存在的形式。

  3.1 一阶线性方程积分因子的解法

  形如

  的方程为一阶线性微分方程,可将其改为对称式方程,为:

  此处,令,

  则

  是有关于的函数。

  且此时的积分因子为:

  例 10 求方程的积分因子及通解。

  解 因为在平面上有连续偏导数,此时积分因子为:

  方程两边同时乘以积分因子,可得:

  通过凑微分,有:

  两边同时积分,有:

  所以,方程的通解为:

  此处为任意常数。

  3.2伯努力微分方程积分因子的解法

  形如

  的方程为伯努力微分方程,此处为的连续函数,是常数。

  在方程两边同时乘以,并且令,可得:

  由线性方程积分因子,我们可得到上式方程的积分因子为:

  例11 求方程的积分因子及通解。

  解 因为,在平面上有连续偏导数,此时积分因子为:

  方程两边同时乘以积分因子,并变为对称式方程:

  凑微分,可得:

  两边同时积分,有:

  所以,方程的通解为:

  此处为任意常数。

  3.3 可分离变量方程积分因子的解法

  形如

  利用观察法可求可分离变量方程的积分因子,方程两边同乘,可得:

  此处 ,

  所以,

  可分离变量方程的积分因子为:

  例 12 求方程的积分因子及通解。

  解 将方程变形为:

  由公式可解得其积分因子为:

  方程两边同乘积分因子,并化简:

  凑微分,可得:

  两边同时积分,可得:

  即

  所以,方程通解为:

  此处为任意常数。

  3.4 齐次方程积分因子的解法

  设

  的方程为齐次方程,将方程化简,可得:

  将上式方程两边同时乘以,并令代入,可得:

  上式方程为可分离变量方程,其积分因子为:

  现将代入并乘以,可得齐次方程的积分因子为:

  特别提醒:当时有相同的积分因子。

  例13 求方程的积分因子及通解。

  解 可求得方程的积分因子为:

  方程两边同时乘以积分因子,可得:

  此处,令.

  所以,由全微分公式,可得:

  所以,方程的通解为:

  即

  此处c为任意常数。

  从理论上讲,运用积分因子可以获得一阶微分方程的一般解法,本文总结并给出了几类积分因子的充要条件和相关例题,每种类型都有其特点,但彼此之间有相互关联。不过,最主要的是我们在做题过程中要细心观察每个方程的特点,分析出它是属于哪种方程的类型题,并求出相应的积分因子,然后对照本文所给类型所对应的方程结论进行求解。

  结 语

  本课题将根据积分因子的定义及性质,通过不同的分类方法,在原有求积分因子方法的基础上,对多种求法进行加深和扩充,系统地讨论一阶微分方程积分因子的求解方法,给出一些方法的使用条件,并给出相应的例题进一步理解。结合具体问题进行具体分析讨论,为解决一些非全微分方程的求解问题提供了更加行而有效的方法。

  常微分方程在自然科学和技术科学的领域中都有着广泛的应用。同样,在社会科学的一些领悟里也存在着微分方程问题。这些问题都有可能涉及一阶微分方程的求解,因而就会涉及一阶微分方程积分因子的求法。所以,全面系统的研究出一阶微分方程的积分因子的求解方法对很多领域所涉及到的一阶微分方程的求解将有很大的帮助。不仅减少了求解过程中的计算量,使问题简单化,而且还有着非常重要的现实意义及实际应用价值。

  可以这样说,我们所研究的东西全都来源于生产生活实际,然后通过深入透彻的研究,形成完整的理论体系,然后反过来应用于实际生产生活。微分方程自然也有其深刻的实际背景。

  在人们探求物质世界运动规律的过程中,一般很难全靠实验观测认识清楚运动规律,因为人们不太可能观察到运动的全过程。然而,运动物体与它的瞬时变化率之间,通常按照某种已知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出来,其结果往往形成一个微分方程。一旦求出这个方程的解,其运动规律就一目了然。

  如果其中的未知函数只与一个自变量有关,称为常微分方程。

  也就说,常微分方程研究的是物质的运动规律,是表达自然规律的数学语言,已经成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。

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